电偶极辐射笔记

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通过将给定电荷与电流分布产生的电磁场矢势展开，可以得到电偶极辐射产生的电磁场。

前言

在磁场 $\vec{B}$ 的表述中，可以看到 $\nabla \cdot \pmb{B}=0$ ，由矢量分析原理可知，可以引入一个矢量$\pmb{A}$ ，使得 $\pmb{B} = \nabla \times \pmb{A}$ . 这里$\pmb{A}$ 就是磁矢势. 在电磁波情形下，电场的旋度不再为0，因此原先定义的标势 $-\nabla \phi = \pmb{E}$ 不再适用. 此时$\nabla \times (\pmb{E}+\frac{\partial \pmb{A}}{\partial t}) = 0$，因此可以定义标势为 $-\nabla \phi = (\pmb{E}+\frac{\partial \pmb{A}}{\partial t})$ .

使用电流密度来描述一个小区域（场源）的电荷运动， $\pmb{J}$ 产生的矢势为：

$$ \pmb{A}(\pmb{x}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V{\frac{\pmb{J}dV'}{r}} $$

若为时谐交变电流，$\pmb J$ 可分离变量为 $\pmb{J}(\pmb{x'}, t) = \pmb{J}(\pmb{x'}) e^{-i\omega t}$ . 时谐部分已知，以后只考虑随位置改变的部分$\pmb{J}(\pmb{x'})$ ，$\pmb{A}$可写为：

$$ \pmb{A}(\pmb{x'}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\pmb{J}(\pmb{x'}) e^{ikr}}{r}dV' $$

$e^{ikr}$表示到达场中一点处的电磁波相对于场源的相位延迟. 与由于电荷守恒，得到 $i\omega \rho = \nabla \cdot \pmb{J}$ ，将静电场标势的表达式迁移至此：

$$ \phi = \int_V \frac{\rho dV'}{4\pi \epsilon_0 r} $$

求出任意电荷或电流分布在远处产生的电磁场的思路是，先求出$\pmb J$，然后由$\pmb J$求出$\pmb A$. 从$\pmb A$出发，求出$\pmb B$（$\pmb B = \nabla \times \pmb A$），再由时谐波满足的 $\pmb E = ic/k \cdot \nabla \times \pmb B$ 得到 $\pmb E$.

矢势展开式

上文中的的$\pmb x'$为场源中的一点的位置. $\pmb x$ 为场点的位置，$r$是场源的一点到场点的距离. 令$R = |\pmb {x}|$ . 在$r \gg \lambda$ 的情况下，$r = R - \pmb{e}_R \cdot \pmb{x'}$ . 因而$\pmb {A}(\pmb{x'})$改写为：

$$ \pmb {A}(\pmb{x'}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V {\frac{\pmb{J}(\pmb{x'}) e^{ik(R - \pmb{e}_R \cdot \pmb{x'})}}{R - \pmb{e}_R \cdot \pmb{x'}}dV'} $$

将 $\pmb{e}_R \cdot \pmb{x'}$展开，得到：

$$ \pmb {A}(\pmb{x'}) = \frac{\mu_0 e^{ikR}}{4\pi R} \int_V{\pmb{J}({\pmb{x'}})(1-ik\pmb{e}_R \times \pmb{x'} + \cdots )dV'} $$

电偶极辐射

电场与磁场

展开式的第一项：

$$ \pmb{A}_1(\pmb{x'}) = \frac{\mu_0 e^{ikR}}{4\pi R} \int_V {\pmb J dV'} $$

右边的体积分就是电荷体系电偶极矩的变化率$\frac{d\pmb p}{dt}$，因此

$$ \pmb{A}_1 = \frac{\mu_0 e^{ikR}}{4\pi R} \dot{\pmb p} $$

Note: 在时谐电磁场中，可以使用这两个特点方便计算：$\nabla \rightarrow ik\pmb{e}_R, \frac{\partial}{\partial t} \rightarrow -i\omega$.

这样就可以从$\pmb A$求得$\pmb B$：

$$ \pmb{B} = \nabla \times \pmb{A} = \frac{i\mu_0 k}{4\pi R} e^{ikR} \pmb{e}_R \times \dot{\pmb p} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 c^3 R} e^{ikR} \ddot{\pmb p} \times \pmb{e}_R $$

然后再从$\pmb B$求得$\pmb E$：

$$ \pmb {E} = \frac{ic}{k} \nabla \times \pmb{B} = c\pmb{B} \times \pmb{e}_R = \frac{e^{ikR}}{4\pi \epsilon_0 c^2 R}(\ddot{\pmb p} \times \pmb{e}_R) \times \pmb{e}_R $$

取场源为原点，$\pmb p$ 的方向为极轴，在 $R=constant$ 的球面上构建出一个类似于地球经纬度的坐标系. 由上面两个式子可以知道，磁场 $\pmb B$ 沿着纬线方向振荡，电场 $\pmb E$ 沿着经线方向振荡. 而且：

$$ \pmb B = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 c^3 R} \ddot{\pmb p} e^{ikR} \sin{\theta} \pmb{e}_\phi $$

$$ \pmb E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 c^2 R} \ddot{\pmb p} e^{ikR} \sin{\theta} \pmb{e}_\theta $$

辐射能流

坡印廷矢量 $\pmb{S} = \frac{1}{2} \mathrm{Re}(\pmb{E^*} \times \pmb{H})$ ，代入上面的表达式：

$$ \pmb{S} = \frac{c}{2\mu_0} \mathrm{Re} [(\pmb{B^*} \times \pmb{e}_R) \times \pmb{B}] = \frac{c}{2\mu_0}|\pmb{B}|^2 \pmb{e}_R = \frac{|\ddot{\pmb p}|^2}{32\pi^2 \epsilon_0 c^3 R^2}\sin^2{\theta} \pmb{e}_R $$

总辐射功率为：

$$ P = \oint|\pmb{S}|R^2d\Omega = \frac{|\ddot{\pmb p}|^2}{32\pi^2\epsilon_0 c^3} \oint{\sin^2{\theta}d\Omega} = \frac{|\ddot{\pmb p}|^2}{12\pi\epsilon_0 c^3} $$

电四极和磁偶极辐射

展开式第二项是 $$ \pmb{A}_2(\pmb{x'}) = \frac{-ik\mu_0e^{ikR}}{4\pi R} \int_V {\pmb{J}(\pmb{x}')(\pmb{e}_R\cdot \pmb{x}')dV'} $$ 被积函数可以写成： $$ \frac{1}{2} \int[(\pmb{e}_R \cdot \pmb{x}') \pmb{J}'+(\pmb{e}_R\cdot\pmb{J}')\pmb{x}']dV' + \frac{1}{2} \int[(\pmb{e}_R \cdot \pmb{x}') \pmb{J}'-(\pmb{e}_R\cdot\pmb{J}')\pmb{x}']dV' $$ 其中第二项 $ \frac{1}{2} \int[(\pmb{e}_R \cdot \pmb{x}') \pmb{J}'-(\pmb{e}_R\cdot\pmb{J}')\pmb{x}']dV' = -\pmb{e}_R \times \pmb{m}$ . 这也就是磁偶极辐射。

第一项$\frac{1}{2} \int[(\pmb{e}_R \cdot \pmb{x}') \pmb{J}'+(\pmb{e}_R\cdot\pmb{J}')\pmb{x}']dV' = \pmb{e}_R \cdot \mathfrak{D}$，其中$\mathfrak{D}$是体系的电四极矩。这一项代表电四极辐射。

磁偶极辐射场

磁偶极辐射磁场、电场、能流密度及总功率： $$ \pmb{B} = \nabla \times \pmb{A} = \frac{\mu_0 e^{ikR}}{4\pi c^2 R} (\ddot{\pmb{m}}\times \pmb{e}_R) \times \pmb{e}_R $$

$$ \pmb{E} = c \pmb{B} \times \pmb{e}_R = -\frac{\mu_0 e^{ikR}}{4\pi cR}(\ddot{\pmb{m}}\times \pmb{e}_R) $$

$$ \overline{\pmb{S}} = \frac{\mu_0 \omega^4 |\pmb{m}|^2}{32\pi^2c^3R^2}\sin{\theta} \pmb{e}_R $$

$$ P = \frac{\mu_0\omega^4|\pmb{m}|^2}{12\pi c^3} $$

电四极辐射场

电四极辐射磁场、电场、能流密度： $$ \pmb{B} = \frac{e^{ikR}}{24\pi \epsilon_0c^4R}\dddot{\mathfrak{D}}\times\pmb{e}_R $$

$$ \pmb{E} = \frac{e^{ikR}}{24\pi \epsilon_0c^3R}(\dddot{\mathfrak{D}}\times\pmb{e}_R)\times \pmb{e}_R $$

$$ \overline{\pmb{S}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{288\pi c^5R^2}(\dddot{\mathfrak{D}}\times\pmb{e}_R)^2\times \pmb{e}_R $$